欧拉方程 (流体动力学)
- 本条目讨论流体动力学。对于其它意义的欧拉方程，参看欧拉方程。
在流體動力學中，歐拉方程是一組支配無黏性流體運動的方程，以萊昂哈德·歐拉命名。方程組各方程分別代表質量守恆（連續性）、動量守恆及能量守恆，對應零黏性及無熱傳導項的納維－斯托克斯方程。歷史上，只有連續性及動量方程是由歐拉所推導的。然而，流體動力學的文獻常把全組方程——包括能量方程——稱為“歐拉方程”[1]。
跟納維－斯托克斯方程一樣，歐拉方程一般有兩種寫法：“守恆形式”及“非守恆形式”。守恆形式強調物理解釋，即方程是通過一空間中某固定體積的守恆定律；而非守恆形式則強調該體積跟流體運動時的變化狀態。
歐拉方程可被用於可壓縮性流體，同時也可被用於非壓縮性流體——這時應使用適當的狀態方程，或假設流速的散度為零。
本條目假設經典力學適用；當可壓縮流的速度接近光速時，詳見相對論性歐拉方程。
目录
1 歷史
2 守恆形式（分量）
3 守恆形式（向量）
4 非守恆形式（通量雅可比矩陣）
4.1 理想氣體的通量雅可比矩陣
4.2 線性化形式
4.3 線性化一維的非耦合波方程
5 衝擊波
6 一維中的方程
7 注釋
8 資料來源及延伸閱讀
歷史
第一份印有歐拉方程的出版物是歐拉的論文《流體運動的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），發表於1757年，刊載於《柏林科學院論文集》（Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin）。它們是最早被寫下來的一批偏微分方程。在歐拉發表他的研究之時，方程組只有動量方程及連續性方程，因此只能完整描述非壓縮性流體；在描述可壓縮性流體時，會因條件不足而不能提供唯一解。在1816年，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯添加了一條方程，第三條方程後來被稱為絕熱條件。
在十九世紀的後半期，科學家們發現，與能量守恆相關的方程在任何時間都得被遵守，而絕熱條件則只會在有平滑解的情況下會被遵守，因為該條件是由平滑解時的基礎定律所造成的後果。在發現了狹義相對論之後，能量密度、質量密度及應力這三個概念，被統一成應力-能量張量這一個概念；而能量及動量也同樣被統一成一個概念——能量-動量張量[2]。
守恆形式（分量）
以下是用微分形式寫成的歐拉方程：
- ∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0∂ρu∂t+∇⋅(u⊗(ρu))+∇p=0∂E∂t+∇⋅(u(E+p))=0,{displaystyle {begin{aligned}&{partial rho over partial t}+nabla cdot (rho mathbf {u} )=0\[1.2ex]&{partial rho {mathbf {u} } over partial t}+nabla cdot (mathbf {u} otimes (rho mathbf {mathbf {u} } ))+nabla p=0\[1.2ex]&{partial E over partial t}+nabla cdot (mathbf {u} (E+p))=0,end{aligned}}}
![{displaystyle {begin{aligned}&{partial rho over partial t}+nabla cdot (rho mathbf {u} )=0\[1.2ex]&{partial rho {mathbf {u} } over partial t}+nabla cdot (mathbf {u} otimes (rho mathbf {mathbf {u} } ))+nabla p=0\[1.2ex]&{partial E over partial t}+nabla cdot (mathbf {u} (E+p))=0,end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719655fccdf7f1f48ae8f9f333070347b9f535ff)
其中
ρ為流體的質量密度；
u 為流體速度向量，分量為u、v及w；
E = ρ e + ½ ρ ( u2 + v2 + w2 )為每一單位容量所含的總能量，其中e為流體每一單位容量所含的內能；
p為壓力；
⊗{displaystyle otimes }代表張量積。
第二條方程包含了一并矢積的散度，用下標標記（每一個j代表從1至3）表示會較易明白：
- ∂(ρuj)∂t+∑i=13∂(ρuiuj)∂xi+∂p∂xj=0,{displaystyle {partial (rho u_{j}) over partial t}+sum _{i=1}^{3}{partial (rho u_{i}u_{j}) over partial x_{i}}+{partial p over partial x_{j}}=0,}
其中i及j下標各代表直角座標系的三個分量：( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z )及( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w )。
注意以上方程是用守恆形式的，而守恆形式強調的是方程的物理起因（因此在計算流體力學中的電腦模擬上使用這種形式最方便）。而代表動量守恆的第二條方程可用非守恆形式表示：
- ρ(∂∂t+u⋅∇)u+∇p=0{displaystyle rho left({frac {partial }{partial t}}+{mathbf {u} }cdot nabla right){mathbf {u} }+nabla p=0}
但是在這個形式上，會比較看不出歐拉方程與牛頓第二運動定律的直接關聯。
守恆形式（向量）
以下是用向量及守恆形式寫成的歐拉方程：
- ∂m∂t+∂fx∂x+∂fy∂y+∂fz∂z=0,{displaystyle {frac {partial mathbf {m} }{partial t}}+{frac {partial mathbf {f} _{x}}{partial x}}+{frac {partial mathbf {f} _{y}}{partial y}}+{frac {partial mathbf {f} _{z}}{partial z}}=0,}
其中
- m=(ρρuρvρwE);{displaystyle {mathbf {m} }={begin{pmatrix}rho \rho u\rho v\rho w\Eend{pmatrix}};}
- fx=(ρup+ρu2ρuvρuwu(E+p));fy=(ρvρuvp+ρv2ρvwv(E+p));fz=(ρwρuwρvwp+ρw2w(E+p)).{displaystyle {mathbf {f} _{x}}={begin{pmatrix}rho u\p+rho u^{2}\rho uv\rho uw\u(E+p)end{pmatrix}};qquad {mathbf {f} _{y}}={begin{pmatrix}rho v\rho uv\p+rho v^{2}\rho vw\v(E+p)end{pmatrix}};qquad {mathbf {f} _{z}}={begin{pmatrix}rho w\rho uw\rho vw\p+rho w^{2}\w(E+p)end{pmatrix}}.}
在這個形式下，不難看出fx、fy及fz是通量。
以上方程分別代表質量守恆、動量的三個分量及能量。裏面有五條方程，六個未知數。封閉系統需要一條狀態方程；最常用的是理想氣體定律（即p = ρ (γ−1) e，其中ρ為密度，γ為絕熱指數，e為內能）。
注意能量方程的奇特形式；見藍金-雨果尼厄方程。附加含p的項可被詮釋成相鄰的流體元對某流體元所作的機械功。在非壓縮性流體中，這些附加項的總和為零。
取流線上歐拉方程的積分，假設密度不變，及狀態方程具有足夠的剛性，可得有名的伯努利定律。
非守恆形式（通量雅可比矩陣）
在構建數值解，例如求雷曼問題的近似解的時候，展開通量可以是很重要的一環。使用上面以向量表示的守恆形式方程，展開其通量可得非守恆形式如下：
- ∂m∂t+Ax∂m∂x+Ay∂m∂y+Az∂m∂z=0.{displaystyle {frac {partial mathbf {m} }{partial t}}+mathbf {A} _{x}{frac {partial mathbf {m} }{partial x}}+mathbf {A} _{y}{frac {partial mathbf {m} }{partial y}}+mathbf {A} _{z}{frac {partial mathbf {m} }{partial z}}=0.}
其中Ax、Ay及Az為通量雅可比矩陣，各矩陣為：
- Ax=∂fx(s)∂s,Ay=∂fy(s)∂s,Az=∂fz(s)∂s.{displaystyle mathbf {A} _{x}={frac {partial mathbf {f} _{x}(mathbf {s} )}{partial mathbf {s} }},qquad mathbf {A} _{y}={frac {partial mathbf {f} _{y}(mathbf {s} )}{partial mathbf {s} }},qquad mathbf {A} _{z}={frac {partial mathbf {f} _{z}(mathbf {s} )}{partial mathbf {s} }}.}
上式中這些通量雅可比矩陣Ax、Ay及Az，還是狀態向量m的函數，因此這種形式的歐拉方程跟原方程一樣，都是非線性方程。在狀態向量m平滑變動的區間內，這種非守恆形式跟原來守恆形式的歐拉方程是相同的。
理想氣體的通量雅可比矩陣
將理想氣體定律用作狀態方程，可推導出完整的雅可比矩陣形式，矩陣如下[3]：
理想氣體的通量雅可比矩陣
x方向的通量雅可比矩陣：
- Ax=[01000γ^H−u2−a2(3−γ)u−γ^v−γ^wγ^−uvvu00−uww0u0u[(γ−2)H−a2]H−γ^u2−γ^uv−γ^uwγu].{displaystyle mathbf {A} _{x}=left[{begin{array}{c c c c c}0&1&0&0&0\{hat {gamma }}H-u^{2}-a^{2}&(3-gamma )u&-{hat {gamma }}v&-{hat {gamma }}w&{hat {gamma }}\-uv&v&u&0&0\-uw&w&0&u&0\u[(gamma -2)H-a^{2}]&H-{hat {gamma }}u^{2}&-{hat {gamma }}uv&-{hat {gamma }}uw&gamma uend{array}}right].}
y方向的通量雅可比矩陣：
- Ay=[00100−vuvu00γ^H−v2−a2−γ^u(3−γ)v−γ^wγ^−vw0wv0v[(γ−2)H−a2]−γ^uvH−γ^v2−γ^vwγv].{displaystyle mathbf {A} _{y}=left[{begin{array}{c c c c c}0&0&1&0&0\-vu&v&u&0&0\{hat {gamma }}H-v^{2}-a^{2}&-{hat {gamma }}u&(3-gamma )v&-{hat {gamma }}w&{hat {gamma }}\-vw&0&w&v&0\v[(gamma -2)H-a^{2}]&-{hat {gamma }}uv&H-{hat {gamma }}v^{2}&-{hat {gamma }}vw&gamma vend{array}}right].}
z方向的通量雅可比矩陣：
- Az=[00010−uww0u0−vw0wv0γ^H−w2−a2−γ^u−γ^v(3−γ)wγ^w[(γ−2)H−a2]−γ^uw−γ^vwH−γ^w2γw].{displaystyle mathbf {A} _{z}=left[{begin{array}{c c c c c}0&0&0&1&0\-uw&w&0&u&0\-vw&0&w&v&0\{hat {gamma }}H-w^{2}-a^{2}&-{hat {gamma }}u&-{hat {gamma }}v&(3-gamma )w&{hat {gamma }}\w[(gamma -2)H-a^{2}]&-{hat {gamma }}uw&-{hat {gamma }}vw&H-{hat {gamma }}w^{2}&gamma wend{array}}right].}
其中γ^=γ−1{displaystyle {hat {gamma }}=gamma -1}
.
- Ax=[01000γ^H−u2−a2(3−γ)u−γ^v−γ^wγ^−uvvu00−uww0u0u[(γ−2)H−a2]H−γ^u2−γ^uv−γ^uwγu].{displaystyle mathbf {A} _{x}=left[{begin{array}{c c c c c}0&1&0&0&0\{hat {gamma }}H-u^{2}-a^{2}&(3-gamma )u&-{hat {gamma }}v&-{hat {gamma }}w&{hat {gamma }}\-uv&v&u&0&0\-uw&w&0&u&0\u[(gamma -2)H-a^{2}]&H-{hat {gamma }}u^{2}&-{hat {gamma }}uv&-{hat {gamma }}uw&gamma uend{array}}right].}
![{displaystyle mathbf {A} _{x}=left[{begin{array}{c c c c c}0&1&0&0&0\{hat {gamma }}H-u^{2}-a^{2}&(3-gamma )u&-{hat {gamma }}v&-{hat {gamma }}w&{hat {gamma }}\-uv&v&u&0&0\-uw&w&0&u&0\u[(gamma -2)H-a^{2}]&H-{hat {gamma }}u^{2}&-{hat {gamma }}uv&-{hat {gamma }}uw&gamma uend{array}}right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1cadcc914126f3e4b6a0d43b2b692306a49e0c)
![{displaystyle mathbf {A} _{y}=left[{begin{array}{c c c c c}0&0&1&0&0\-vu&v&u&0&0\{hat {gamma }}H-v^{2}-a^{2}&-{hat {gamma }}u&(3-gamma )v&-{hat {gamma }}w&{hat {gamma }}\-vw&0&w&v&0\v[(gamma -2)H-a^{2}]&-{hat {gamma }}uv&H-{hat {gamma }}v^{2}&-{hat {gamma }}vw&gamma vend{array}}right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59565c52e2e43c8718b80ea189386e06caf659dc)
![{displaystyle mathbf {A} _{z}=left[{begin{array}{c c c c c}0&0&0&1&0\-uw&w&0&u&0\-vw&0&w&v&0\{hat {gamma }}H-w^{2}-a^{2}&-{hat {gamma }}u&-{hat {gamma }}v&(3-gamma )w&{hat {gamma }}\w[(gamma -2)H-a^{2}]&-{hat {gamma }}uw&-{hat {gamma }}vw&H-{hat {gamma }}w^{2}&gamma wend{array}}right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bada4ec757d1aec3bef39fbceba93e17ffbcb8)
總焓H為：
- H=Eρ+pρ,{displaystyle H={frac {E}{rho }}+{frac {p}{rho }},}
及聲速a為：
- a=γpρ=(γ−1)[H−12(u2+v2+w2)].{displaystyle a={sqrt {frac {gamma p}{rho }}}={sqrt {(gamma -1)left[H-{frac {1}{2}}left(u^{2}+v^{2}+w^{2}right)right]}}.}
![a={sqrt {{frac {gamma p}{rho }}}}={sqrt {(gamma -1)left[H-{frac {1}{2}}left(u^{2}+v^{2}+w^{2}right)right]}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d981fcd3ad170a2cb66edcb1c77acbc06db381d)
線性化形式
將含通量雅可比矩陣的非守恆形式，在狀態m = m0的周圍線性化後，可得線性化歐拉方程如下：
- ∂m∂t+Ax,0∂m∂x+Ay,0∂m∂y+Az,0∂m∂z=0,{displaystyle {frac {partial mathbf {m} }{partial t}}+mathbf {A} _{x,0}{frac {partial mathbf {m} }{partial x}}+mathbf {A} _{y,0}{frac {partial mathbf {m} }{partial y}}+mathbf {A} _{z,0}{frac {partial mathbf {m} }{partial z}}=0,}
其中Ax,0 、Ay,0及Az,0分別為Ax、Ay及Az於某參考狀態m = m0的值。
線性化一維的非耦合波方程
如果棄用守恆變量而改用特徵變量的話，歐拉方程可被變換成非耦合波方程。舉例說，考慮以線性通量雅可比矩陣形式表示的一維（1-D）歐拉方程：
- ∂m∂t+Ax,0∂m∂x=0.{displaystyle {frac {partial mathbf {m} }{partial t}}+mathbf {A} _{x,0}{frac {partial mathbf {m} }{partial x}}=0.}
矩陣Ax,0可被對角化，即可將其分解成：
- Ax,0=PΛP−1,{displaystyle mathbf {A} _{x,0}=mathbf {P} mathbf {Lambda } mathbf {P} ^{-1},}
- P=[r1,r2,r3]=[111u−auu+aH−ua12u2H+ua],{displaystyle mathbf {P} =left[mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},mathbf {r} _{3}right]=left[{begin{array}{c c c}1&1&1\u-a&u&u+a\H-ua&{frac {1}{2}}u^{2}&H+ua\end{array}}right],}
![{displaystyle mathbf {P} =left[mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},mathbf {r} _{3}right]=left[{begin{array}{c c c}1&1&1\u-a&u&u+a\H-ua&{frac {1}{2}}u^{2}&H+ua\end{array}}right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef545bc918d0bfe1ee33125484f1ac4c372a6e9)
- Λ=[λ1000λ2000λ3]=[u−a000u000u+a].{displaystyle mathbf {Lambda } ={begin{bmatrix}lambda _{1}&0&0\0&lambda _{2}&0\0&0&lambda _{3}\end{bmatrix}}={begin{bmatrix}u-a&0&0\0&u&0\0&0&u+a\end{bmatrix}}.}
上式中，r1、r2及r3為矩陣Ax,0的右特徵向量（若AxR=λRxR, {displaystyle Ax_{R}=lambda _{R}x_{R}, }
設特徵變量為：
- w=P−1m,{displaystyle mathbf {w} =mathbf {P} ^{-1}mathbf {m} ,}
由於Ax,0不變，原來的一維通量雅可比矩陣方程，乘上P−1後可得：
- ∂w∂t+Λ∂w∂x=0{displaystyle {frac {partial mathbf {w} }{partial t}}+mathbf {Lambda } {frac {partial mathbf {w} }{partial x}}=0}
經過這樣的處理後，方程實際上已經被非耦合化，而且可被視作三條波方程，其中特徵值為波速。變量wi為雷曼不變量，或在一般的雙曲系統中為特徵變量。
衝擊波
歐拉方程為非線性雙曲方程，而它們的通解為波。与海浪一樣，由歐拉方程所描述的波碎掉後，所謂的衝擊波就會形成；這是一種非線性效應，所以其解為多值函數（即函數內的某自變量會產生多個因變量）。物理上這代表構建微分方程時所用的假設已經崩潰，如果要從方程上取得更多資訊，就必須回到更基礎的積分形式。然後，在構建弱解時，需要使用藍金-雨果尼厄衝擊波條件，在流動的物理量中避開不連續點“跳躍”，上述物理量有密度、速度、壓力及熵。物理量很少會出現不連續性；在現實的流動中，黏性會把這些不連續點平滑化。
許多領域都有研究衝擊波的傳播，尤其是出現流動處於足夠高速的領域，例如空氣動力學及火箭推進。
一維中的方程
在某些問題中，特別是分析導管中的可壓縮流，或是當流動呈圓柱或球狀對稱的時候，一維歐拉方程都是很有用的近似法。一般來說，解歐拉方程會用到黎曼的特徵線法。首先需要找出特徵線，這條曲線位於兩個獨立變量（即x及t）所構成的平面上，在這條線上偏微分方程（PDE）會退化成常微分方程（ODE）。歐拉方程的數值解法非常倚賴特徵線法。
注釋
^ Anderson, John D. (1995), Computational Fluid Dynamics, The Basics With Applications. ISBN 0-07-113210-4
^ Christodoulou, Demetrios. The Euler Equations of Compressible Fluid Flow (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. October 2007, 44 (4): 581–602 [June 13, 2009]. doi:10.1090/S0273-0979-07-01181-0.
^ 見Toro (1999)
資料來源及延伸閱讀
Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962.
Thompson, Philip A. Compressible Fluid Flow. New York: McGraw-Hill. 1972. ISBN 0070644055.
Toro, E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-65966-8.
