圓周運動
在物理學中，圓周運動是指运动轨迹为圆或圆的一部分的一种运动。
圓周運動的例子有：一個轨道为圆的人造衛星的运动、一个電子垂直地進入一個均勻的磁場时所做的运动等等。
目录
1 运动学分析
1.1 常用公式
1.2 分量方程
1.2.1 位移
1.2.2 速度
1.2.3 加速度
2 动力学分析
3 物理量
4 变速圆周运动
5 圆周运动的极坐标描述
6 圆周运动的复数描述
7 参考文献
8 参见
9 外部链接
运动学分析
一个质点的圆周运动可以按轨道的切線和垂直轨道的法線这两个方向来分解。
质点的加速度在切向的分量称为切線加速度。切線加速度改变质点沿轨道运动的线速度的大小，不改变方向。加速度在法線的分量成为法線加速度。由于在圆周运动中，法線加速度始终指向圆心，所以此加速度又称向心加速度。向心加速度改变质点速度的方向，不改变大小。
切線加速度大小为零的运动称为匀速圆周运动。[1]
对于匀速圆周运动，符合以下方程和分量方程：
常用公式
- θ=ωt {displaystyle theta =omega t }
- v=rω {displaystyle v=romega }
- a=rω2 {displaystyle a=romega ^{2} }
- ω=2π T {displaystyle omega }={2pi over T }
其中v为速度，a为加速度, T为周期，ω为角速度（单位：rad/s）。
分量方程
在运动平面中建立平面直角坐标系，并以圆心为原点，初位置的位置矢量r→{displaystyle {vec {r}}}
位移
- |x→|=rcosθ=rcosωt{displaystyle left|{vec {x}}right|=rcos theta =rcos omega t}
- |y→|=rsinθ=rsinωt{displaystyle left|{vec {y}}right|=rsin theta =rsin omega t}
速度
- |V→x|=dx→dt=drcosθdθdθdt=−rωsinωt{displaystyle left|{vec {V}}_{x}right|={frac {d{vec {x}}}{dt}}={frac {drcos theta }{dtheta }}{frac {dtheta }{dt}}=-romega sin omega t}
- |V→y|=dy→dt=drsinθdθdθdt=rωcosωt{displaystyle left|{vec {V}}_{y}right|={frac {d{vec {y}}}{dt}}={frac {drsin theta }{dtheta }}{frac {dtheta }{dt}}=romega cos omega t}
- ω=dθdt{displaystyle omega ={frac {dtheta }{dt}}}
加速度
- a→x=dV→xdt=−r→ω2cosωt{displaystyle {vec {a}}_{x}={frac {d{vec {V}}_{x}}{dt}}=-{vec {r}}omega ^{2}cos omega t}
- a→y=dV→ydt=−r→ω2sinωt{displaystyle {vec {a}}_{y}={frac {d{vec {V}}_{y}}{dt}}=-{vec {r}}omega ^{2}sin omega t}
- |a→|=ax2+ay2=rω2=v2r=4π2rT2{displaystyle left|{vec {a}}right|={sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}=romega ^{2}={frac {v^{2}}{r}}={frac {4pi ^{2}r}{T^{2}}}}
- v→=ω→×r→=2πr→T{displaystyle {vec {v}}={vec {omega }}times {vec {r}}={frac {2pi {vec {r}}}{T}}}
动力学分析
将做圆周运动的质点受到的合力F{displaystyle F}
切向力产生切向加速度：
Fτ=maτ{displaystyle F_{tau }=ma_{tau }}
法向力产生法向加速度:
Fn=man{displaystyle F_{n}=ma_{n}}
当质点做匀速圆周运动时，质点受到的合外力F=Fn{displaystyle F=F_{n}}
[2]
物理量
假设一个1千克的物体，以角速度1rad·s−1沿半径为1m的匀速圆周运动。
- 该物体的速率为1m·s−1
- 向心加速度为1m·s−2
- 该物体受到的向心力为1kg·m·s−2，即1牛顿
- 该物体的动量为1kg·m·s−1
转动惯量为1kg·m2
角动量为1kg·m2·s−1
动能为1/2 焦耳
轨道的周长为2π (~ 6.283)米- 运动的周期为2π 秒
频率为(2π)−1赫兹
- 從量子力學的觀點，系統在受激態的量子數大約為～9.48×1035。
然后假设一个质量为m的物体，以角速度ω沿半径为r的圆周运动。
- 速度v = r·ω
- 向心加速度a = r·ω 2 = r −1·v 2
- 向心力F = m·a = r·m·ω 2 = r−1·m·v 2
- 物体的动量p = m·v = r·m·ω
- 转动惯量I = r 2·m
- 角动量L = r·m·v = r 2·m·ω = I·ω
- 动能E = 2−1·m·v 2 = 2−1·r 2·m·ω 2 = (2·m)−1·p 2 = 2−1·I·ω 2 = (2·I)−1·L 2
- 轨道周长为2·π·r
- 运动周期T = 2·π·ω −1
- 频率f = T −1 . (常用希腊字母ν表示频率，但为了与表示速度的符号v区分，这里使用f表示频率)
- 量子数J = 2·π·L h−1
变速圆周运动
物体做变速圆周运动时，切向速度和角速度都在变化
一般地，将作圆周运动的物体所受的合力分解为向心力（垂直于速度方向）和切向力（沿速度方向，使物体速度大小发生变化）。而物体在这两个方向上满足牛顿第二定律。
向心力的大小：
Fn=man=mv2r{displaystyle F_{n}=ma_{n}=m{frac {v^{2}}{r}}}
v{displaystyle v}
圆周运动的极坐标描述
在圓周運動時，物體沿著一個曲率半徑固定的曲線運動。
r→{displaystyle {vec {r}}}
r→=Re→R{displaystyle {vec {r}}=R{vec {e}}_{R}}此處 e→R{displaystyle {vec {e}}_{R}}
是平行於徑向量的單位向量。
在極座標中，物體的速度可以用兩個分量表示：徑向分量和切線分量。當圓的半徑為常數且徑向分量的速度為零，則速度:
- v→=Rφ˙⋅e→φ{displaystyle {vec {v}}=R{dot {varphi }}cdot {vec {e}}_{varphi }}
- 所以 vφ=Rω{displaystyle v_{varphi }=Romega }
物體的加速度也可以分解成徑向分量及切線分量：
- a→=v→˙=−Rφ˙2e→R+Rφ¨e→φ{displaystyle {vec {a}}={dot {vec {v}}}=-R{dot {varphi }}^{2}{vec {e}}_{R}+R{ddot {varphi }}{vec {e}}_{varphi }}
我們可以看到向心加速度是徑向的分量，它是：
- aR=Rφ˙2=Rω2{displaystyle a_{R}=R{dot {varphi }}^{2}=Romega ^{2}}
徑向分量可改變速度的大小:
- aφ=Rφ¨=Rε{displaystyle a_{varphi }=R{ddot {varphi }}=Rvarepsilon }
圆周运动的复数描述
我們可以使用複數來描述圓周運動。令x{displaystyle x}
- z=x+iy=R(cosφ+isinφ)=Reiφ{displaystyle z=x+iy=R(cos varphi +isin varphi )=Re^{ivarphi }}
此處i{displaystyle i}
φ=φ(t){displaystyle varphi =varphi (t)}是複數向量的實數部份，並且是時間的函數。
- 因為半徑是常數（定值）R˙=R¨=0{displaystyle {dot {R}}={ddot {R}}=0}
所以速度是：
- v=z˙=iRφ˙eiφ=iω⋅Reiφ=iωz{displaystyle v={dot {z}}=iR{dot {varphi }}e^{ivarphi }=iomega cdot Re^{ivarphi }=iomega z}
而加速度則是：
- a=iω˙z+iωz˙=(iε−ω2)z{displaystyle a=i{dot {omega }}z+iomega {dot {z}}=(ivarepsilon -omega ^{2})z}
参考文献
^ 程稼夫. 中学奥林匹克竞赛物理教程. 力学篇. 中国科技大学出版社. 2013年6月: P30. ISBN 978-7-312-03193-9.
^ 赵志敏. 高中物理竞赛教程*拓展篇. 复旦大学出版社. : P78~P79. ISBN 978-7-309-08250-0.
^ 沈晨. 更高更妙的物理 第5版. 浙江大学出版社. 2012年5月: P63. ISBN 978-7-308-04609-1 （中文（简体））.
参见
- 角动量
- 向心力
- 離心力
- 慣性力
- 简谐运动
- 曲线运动
- 运动方程
- 时间导数
- 簡諧運動
- 地球靜止軌道
- 地球同步轨道
- 机弦
- 擺 (數學)
外部链接
Circular Motion - 网上教科书（英文）
