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通俗的说，测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小：空集的测度是0；集合变大时测度至少不会减小（因为要加上变大的部分的测度，而它是非负的）。

数学上，测度（Measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。

测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中都有所体现。

定义

正式的定義為，一个测度μ {displaystyle mu }（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。设A{displaystyle {mathcal {A}}} 的元素是 X {displaystyle X }的子集合，而且是一個σ{displaystyle sigma }-代數，μ {displaystyle mu }在A{displaystyle {mathcal {A}}}上定义，于[0,∞]{displaystyle [0,infty ]}中取值，并且满足以下性质：

• 空集合的测度为零：

μ(∅)=0{displaystyle mu (emptyset )=0}。

• 
  可数可加性，或称σ{displaystyle sigma }-可加性：若E1,E2,⋯{displaystyle E_{1},E_{2},cdots }为A{displaystyle {mathcal {A}}}中可数个两两不相交集合的序列，则所有Ei {displaystyle E_{i} }的聯集的测度，等于每个Ei {displaystyle E_{i} }的测度之和：

μ(⋃i=1∞Ei)=∑i=1∞μ(Ei){displaystyle mu (bigcup _{i=1}^{infty }E_{i})=sum _{i=1}^{infty }mu (E_{i})}。

这样的三元组(X,A,μ){displaystyle (X,{mathcal {A}},mu )}称为一个测度空间，而A{displaystyle {mathcal {A}}} 中的元素称为这个空间中的可测集合。

性质

下面的一些性质可从测度的定义导出：

单调性

测度μ {displaystyle mu }的单调性：
若E1 {displaystyle E_{1} }和E2 {displaystyle E_{2} }为可测集，而且E1⊆E2{displaystyle E_{1}subseteq E_{2}}，则μ(E1)≤μ(E2){displaystyle mu (E_{1})leq mu (E_{2})}。

可数个可测集的并集的测度

若E1,E2,E3⋯{displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}cdots }为可测集（不必是两两不交的），则集合En {displaystyle E_{n} }的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

μ(⋃i=1∞Ei)≤∑i=1∞μ(Ei){displaystyle mu (bigcup _{i=1}^{infty }E_{i})leq sum _{i=1}^{infty }mu (E_{i})}

如果还满足并且对于所有的n {displaystyle n }，En {displaystyle E_{n} }⊆En+1 {displaystyle E_{n+1} }，则如下极限式成立：

μ(⋃i=1∞Ei)=limi→∞μ(Ei).{displaystyle mu left(bigcup _{i=1}^{infty }E_{i}right)=lim _{ito infty }mu (E_{i}).}

可数个可测集的交集的测度

若E1,E2,⋯{displaystyle E_{1},E_{2},cdots }为可测集，并且对于所有的n {displaystyle n }，En+1 {displaystyle E_{n+1} }⊆En {displaystyle E_{n} }，则En {displaystyle E_{n} }的交集是可测的。进一步说，如果至少一个En {displaystyle E_{n} }的测度有限，则有极限：

μ(⋂i=1∞Ei)=limi→∞μ(Ei){displaystyle mu (bigcap _{i=1}^{infty }E_{i})=lim _{ito infty }mu (E_{i})}

如若不假设至少一个En {displaystyle E_{n} }的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个n∈N{displaystyle nin mathbb {N} }，令

En=[n,∞)⊆R{displaystyle E_{n}=[n,infty )subseteq mathbb {R} }

这裡，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

σ{displaystyle sigma }-有限测度

如果μ(Ω) {displaystyle mu (Omega ) }是一个有限实数（而不是∞{displaystyle infty }），则测度空间(X,A,μ){displaystyle (X,{mathcal {A}},mu )}称为有限测度空间。如果Ω {displaystyle Omega }可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为σ{displaystyle sigma }-有限测度空间。如果测度空间中的一个集合A {displaystyle A }可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，就称A {displaystyle A }具有σ{displaystyle sigma }-有限测度。

作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是σ{displaystyle sigma }-有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族[k, k+1]，k取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为∞{displaystyle infty }。这样的测度空间就不是σ{displaystyle sigma }-有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。σ{displaystyle sigma }-有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，σ{displaystyle sigma }-有限性可以类比于拓扑空间的可分性。

完备性

对于一个可测集N{displaystyle N}，若μ(N)=0 {displaystyle mu (N)=0 }成立，则称为零测集，其子集称为可去集。

一个可去集未必是可测的，但零测集一定是可去集。

如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：

考虑X{displaystyle X}的所有与某个可测集E{displaystyle E}仅差一个可去集的子集F{displaystyle F}，可得到E{displaystyle E}与F{displaystyle F}的对称差包含于一个零测集中。

由这些子集F{displaystyle F}生成的σ代数，并定义μ(F)=μ(E){displaystyle mu (F)=mu (E)}，所得到的测度即为完备测度。

例子

下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。

• 
  计数测度　定义为μ(S)=S {displaystyle mu (S)=S }的「元素个数」。


• 
  一维勒贝格测度是定义在R{displaystyle mathbb {R} }的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足μ([0,1])=1 {displaystyle mu ([0,1])=1 }的唯一测度。


• 
  Circular angle测度是旋转不变的。


• 
  局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。


• 
  恆零测度定义为μ(S)=0 {displaystyle mu (S)=0 }，对任意的S {displaystyle S }。


• 每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。

其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。

相关条目

• 
  外测度（Outer measure）


• 
  几乎处处（Almost everywhere）


• 
  勒贝格测度（Lebesgue measure）

参考文献

• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.


• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.


• 
  Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.


• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.


• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

外部链接