欧几里得距离

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在数学中，欧几里得距离或欧几里得度量是欧几里得空间中两点间“普通”（即直线）距离。使用这个距离，欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量。



定义


在欧几里得空间中，点x =(x1,...,xn)和 y =(y1,...,yn)之间的欧氏距离为


d(x,y):=(x1−y1)2+(x2−y2)2+⋯+(xn−yn)2=∑i=1n(xi−yi)2{displaystyle d(x,y):={sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}={sqrt {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}d(x,y):={sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}={sqrt {sum _{{i=1}}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

向量x→{displaystyle {vec {x}}}vec{x}的自然长度，即该点到原点的距离为


‖x→‖2=|x1|2+⋯+|xn|2{displaystyle |{vec {x}}|_{2}={sqrt {|x_{1}|^{2}+cdots +|x_{n}|^{2}}}}|{vec {x}}|_{2}={sqrt {|x_{1}|^{2}+cdots +|x_{n}|^{2}}}

它是一个纯数值。在欧几里得度量下，两点之间线段最短。



参考文献




  • Deza, Elena; Deza, Michel Marie. Encyclopedia of Distances. Springer. 2009: 94. 


  • Cluster analysis. March 2, 2011. 








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