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q阶乘幂是阶乘幂的Q-模拟^[1]。与阶乘幂在广义超几何函数中的作用类似，q阶乘幂也是定义基本超几何函数的基础。

定义

n为正整数时

当n为正整数时,q阶乘幂定义为

(a;q)n=∏k=0n−1(1−aqk)=(1−a)(1−aq)(1−aq2)⋯(1−aqn−1),{displaystyle (a;q)_{n}=prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})cdots (1-aq^{n-1}),}

n为0时

当n为0时,q阶乘幂定义为

(a;q)0=1.{displaystyle (a;q)_{0}=1.}

n为无穷大时

与一般的阶乘幂不同的是，q阶乘幂可以扩展成一个无穷乘积

(a;q)∞=∏k=0∞(1−aqk),{displaystyle (a;q)_{infty }=prod _{k=0}^{infty }(1-aq^{k}),}

这时它是一个关于q在单位圆盘内的解析函数，也可以考虑为一个关于q的形式幂级数。其中一个特殊情况

ϕ(q)=(q;q)∞=∏k=1∞(1−qk){displaystyle phi (q)=(q;q)_{infty }=prod _{k=1}^{infty }(1-q^{k})}

被称为欧拉函数。

n为负数时

有限q阶乘幂可以用无穷q阶乘幂表示

(a;q)n=(a;q)∞(aqn;q)∞,{displaystyle (a;q)_{n}={frac {(a;q)_{infty }}{(aq^{n};q)_{infty }}},}

这样就能把q阶乘幂扩展到n为负整数的情况：对于非负整数n，有

(a;q)−n=1(aq−n;q)n=∏k=1n1(1−a/qk){displaystyle (a;q)_{-n}={frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=prod _{k=1}^{n}{frac {1}{(1-a/q^{k})}}}

以及

(a;q)−n=(−q/a)nqn(n−1)/2(q/a;q)n.{displaystyle (a;q)_{-n}={frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}

多变量的写法

因为很多关于q阶乘幂的等式都含有多个q阶乘幂相乘，因此在标准写法中用一个含有多个变量的q阶乘幂来表示这个乘积：

(a1,a2,…,am;q)n=(a1;q)n(a2;q)n…(am;q)n.{displaystyle (a_{1},a_{2},ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}ldots (a_{m};q)_{n}.}

图集

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  (a;b)2{displaystyle (a;b)_{2}}

  
  

  
  


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  (a;b)3{displaystyle (a;b)_{3}}

  
  

  
  


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  (a;b)4{displaystyle (a;b)_{4}}

  
  

  
  


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  (a;b)5{displaystyle (a;b)_{5}}

  
  

  
  

参考文献

1. 
   ^ Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538