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以古氏積木演示完全數6

完全数，又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等於它本身，完全数不可能是楔形數。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3＝6，恰好等於本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14＝28，也恰好等於本身。后面的数是496、8128。

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是過剩數。

完全數的發現

古希腊数学家欧几里得是通过2n−1×(2n−1){displaystyle 2^{n-1}times (2^{n}-1)}
的表达式发现前四个完全数的。

当n=2:21×(22−1)=6{displaystyle n=2:2^{1}times (2^{2}-1)=6}

当n=3:22×(23−1)=28{displaystyle n=3:2^{2}times (2^{3}-1)=28}

当n=5:24×(25−1)=496{displaystyle n=5:2^{4}times (2^{5}-1)=496}

当n=7:26×(27−1)=8128{displaystyle n=7:2^{6}times (2^{7}-1)=8128}

一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：2n−1(2n−1){displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}，其中2n−1{displaystyle 2^{n}-1}是素数，此事實的充分性由欧几里得证明，而必要性則由歐拉所證明。

比如，上面的6{displaystyle 6}和28{displaystyle 28}对应着n=2{displaystyle n=2}和3{displaystyle 3}的情况。我们只要找到了一个形如2n−1{displaystyle 2^{n}-1}的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12p+1{displaystyle 12p+1}或36p+9{displaystyle 36p+9}的形式，其中p{displaystyle p}是素数。

首十個完全數是（ A000396）：

1. 6（1位）


2. 28（2位）


3. 496（3位）


4. 8128（4位）


5. 33550336（8位）


6. 8589869056（10位）


7. 137438691328（12位）


8. 2305843008139952128（19位）


9. 2658455991569831744654692615953842176（37位）


10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

历史

古代数学家根据當時已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数，第 5 个完全数应该是第 5 个素数，即当 n=11{displaystyle n=11} 的时候，可是 211−1=23∗89{displaystyle 2^{11}-1=23*89} 并不是素数。因此 n=11{displaystyle n=11} 不是完全数。另外两个错误假设是：

• 头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数，第五个应该是 5 位数。


• 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。

事实上，第五个完全数 33550336=212(213−1){displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-1)} 是 8{displaystyle 8} 位数。

对于第二个假设，第五个完全数确实是以 6{displaystyle 6} 结尾，但是第六个完全数 8589869056{displaystyle 8589869056} 仍是以 6{displaystyle 6} 结尾，应該說完全數只有以 6{displaystyle 6} 和 8{displaystyle 8} 结尾才對。

对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每個偶完全數給出一個梅森素數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。到 2018 年 1 月为止，共发现了 50 个完全数，且都是偶数。最大的已知完全數為 277232916∗(277232917−1){displaystyle 2^{77232916}*(2^{77232917}-1)} 共有 46498850{displaystyle 46498850} 位數^[1]。

性质

以下是目前已發現的完全數共有的性質。

• 偶完全数都是以6或28结尾。


• 在十二進制中，除了6跟28以外的偶完全數都以54結尾，甚至，除了6, 28, 496以外的偶完全數都以054或854結尾。而如果存在奇完全數，她在十二進制中必定以1, 09, 39, 69或99結尾。


• 除6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成個位数，那么这个個位数一定是1^{[註 1]}：

28{displaystyle 28} → 2+8=10{displaystyle 2+8=10} → 1+0=1{displaystyle 1+0=1}

496{displaystyle 496} → 4+9+6=19{displaystyle 4+9+6=19} → 1+9=10{displaystyle 1+9=10} → 1+0=1{displaystyle 1+0=1}

• 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从2p−1{displaystyle 2^{p-1}}到22p−2{displaystyle 2^{2p-2}}：

6=21+22{displaystyle 6=2^{1}+2^{2}}

28=22+23+24{displaystyle 28=2^{2}+2^{3}+2^{4}}

496=24+25+26+27+28{displaystyle 496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}}

8128=26+27+...+212{displaystyle 8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{12}}

• 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和^{[註 2]}：

6=1+2+3{displaystyle 6=1+2+3}

28=1+2+3+4+5+6+7{displaystyle 28=1+2+3+4+5+6+7}

496=1+2+3+...+30+31{displaystyle 496=1+2+3+...+30+31}

• 除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有2p−1{displaystyle {sqrt {2^{p-1}}}})^{[註 3]}：

28=13+33{displaystyle 28=1^{3}+3^{3}}

496=13+33+53+73{displaystyle 496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}}

8128=13+33+53+...+153{displaystyle 8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3}}

• 每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。）

11+12+13+16=6+3+2+16=2{displaystyle {frac {1}{1}}+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{6}}={frac {6+3+2+1}{6}}=2}

11+12+14+17+114+128=28+14+7+4+2+128=2{displaystyle {frac {1}{1}}+{frac {1}{2}}+{frac {1}{4}}+{frac {1}{7}}+{frac {1}{14}}+{frac {1}{28}}={frac {28+14+7+4+2+1}{28}}=2}

• 它们的二进制表达式也很有趣：（因為偶完全數形式均如2n−1(2n−1){displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}）

(6)10=(110)2{displaystyle (6)_{10}=(110)_{2}}

(28)10=(11100)2{displaystyle (28)_{10}=(11100)_{2}}

(496)10=(111110000)2{displaystyle (496)_{10}=(111110000)_{2}}

(8128)10=(1111111000000)2{displaystyle (8128)_{10}=(1111111000000)_{2}}

(33550336)10=(1111111111111000000000000)2{displaystyle (33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_{2}}

(8589869056)10=(111111111111111110000000000000000)2{displaystyle (8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_{2}}

奇完全數

未解決的數學問題：奇完全數存在嗎？

用计算机已经证实：在10¹⁵⁰⁰以下，没有奇完全数；至今还证明了，如果奇完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一個不少於7位數的質因子）但不包含3，亦不會是立方數。一般猜测：奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限？至今都不能回答。

Carl Pomerance提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。^[2]

奇完全数的部分条件

• 
  N > 10¹⁵⁰⁰，2012年公布的结果。


• 
  N是以下形式：

N=qαp12e1…pk2ek,{displaystyle N=q^{alpha }p_{1}^{2e_{1}}ldots p_{k}^{2e_{k}},}

其中：

• 
  q，p₁，…，p_k是不同的素数（Euler）。


• 
  q ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。


• 
  N的最小素因子必须小于（2k + 8） / 3（Grün 1952）。


• 
  e1{displaystyle e_{1}}≡e2{displaystyle e_{2}}...≡ek{displaystyle e_{k}} ≡ 1（mod 3）的关系不能满足（McDaniel 1970）。


• 要么q^α > 10⁶²，要么对于某个j有pj2ej{displaystyle p_{j}^{2e_{j}}} > 10⁶²（Cohen 1987）。


• 
  N<24k+1{displaystyle N<2^{4^{k+1}}}（Nielsen 2003）。

• 
  N的最大素因子必须大于10⁸（Takeshi Goto和Yasuo Ohno，2006）。


• 
  N的第二大素因子必须大于10⁴（Iannucci 1999，2000）。


• 
  N至少要有75个素因子，其中至少9个是不同的。如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子。（Nielsen 2006；Kevin Hare 2005）。

• 如果对于所有的i，都有ei{displaystyle e_{i}} ≤ 2，那么：
  
  
  
  • 
    N的最小素因子必须大于739（Cohen 1987）。
  
  
  • α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。
  
  
  
  

Touchard定理

這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如12m+1{displaystyle 12m+1}或36q+9{displaystyle 36q+9}。最初的證明在1953年由Jacques Touchard首先證明，1951年van der Pol用非線性偏微分方程得出證明。Judy A. Holdener在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這三個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數）

• 歐拉證明了奇完全數的形式必如4j+1{displaystyle 4j+1}。^[3]
  


• 
  σ(n){displaystyle sigma (n)}表示n{displaystyle n}的正因數之和。完全數的定義即為2n=σ(n){displaystyle 2n=sigma (n)}。
  σ(n){displaystyle sigma (n)}為積性函數
  


• 引理：若n=6k−1{displaystyle n=6k-1}（k{displaystyle k}是正整數），則n{displaystyle n}非完全數。

引理的證明：

使用反證法，設n{displaystyle n}為完全數，且n≡−1(mod6){displaystyle nequiv -1{pmod {6}}}。

n≡−1(mod3){displaystyle nequiv -1{pmod {3}}}。因為3的二次剩餘只有0,1，故n{displaystyle n}非平方數，因此其正因數個數為偶數。

n{displaystyle n}有正因數d{displaystyle d}，則可得：

d≡1(mod3){displaystyle dequiv 1{pmod {3}}}且n/d≡−1(mod3){displaystyle n/dequiv -1{pmod {3}}}；或

d≡−1(mod3){displaystyle dequiv -1{pmod {3}}}且n/d≡1(mod3){displaystyle n/dequiv 1{pmod {3}}}。

因此，(n/d+d)≡0(mod3){displaystyle (n/d+d)equiv 0{pmod {3}}}。故σ(n)=∑d<nd+n/d≡0(mod3){displaystyle sigma (n)=sum _{d<{sqrt {n}}}d+n/dequiv 0{pmod {3}}}。

但2n≡2(−1)≡1(mod3){displaystyle 2nequiv 2(-1)equiv 1{pmod {3}}}，矛盾。

故n{displaystyle n}的形式只可能為6k+1{displaystyle 6k+1}或6k+3{displaystyle 6k+3}。

若n=6k+1{displaystyle n=6k+1}，根據歐拉的結果，n=4j+1{displaystyle n=4j+1}，綜合兩者，得n=12m+1{displaystyle n=12m+1}。

若n=6k+3{displaystyle n=6k+3}，n=4j+1{displaystyle n=4j+1}，得n=12m+9=3(4m+3){displaystyle n=12m+9=3(4m+3)}。若m{displaystyle m}非3的倍數，3和4m+3{displaystyle 4m+3}互質。

因為σ(n){displaystyle sigma (n)}為積性函數，可得σ(n)=σ(3)σ(4m+3)=4σ(4m+3)≡0(mod4){displaystyle sigma (n)=sigma (3)sigma (4m+3)=4sigma (4m+3)equiv 0{pmod {4}}}。

但2n=2(4j+1)≡2(mod4){displaystyle 2n=2(4j+1)equiv 2{pmod {4}}}，出現了矛盾。故知m{displaystyle m}是3的倍數。代入m=3q{displaystyle m=3q}，可得n=36q+9{displaystyle n=36q+9}。

參考

• 
  Odd Perfect Numbers, Gagan Tara Nanda

註釋

參考資料

1. 
   ^ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^77,232,917-1. Mersenne Research, Inc. 2018年1月3日 [2018年1月14日]. 
   


2. 
   ^ http://oddperfect.org/pomerance.html
   


3. 
   ^ [1]^{[永久失效連結]}
   

參見

• 高合成數


• 婚約數


• 親和數


• 豐數


• 亏数


• 梅森素数


• 半完全數


• 佩服數


• 超完全數

外部链接

• 
  Hazewinkel, Michiel (编), Perfect number, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  


• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
  


• Perfect numbers – History and Theory


• 埃里克·韦斯坦因. Perfect Number. MathWorld. 


• 
  Sloane, N.J.A. (编). Sequence A000396 (Perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  


• 
  OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.


• 
  Great Internet Mersenne Prime Search^{[永久失效連結]}
  


• 
  Perfect Numbers, math forum at Drexel.


• 
  Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Brady Haran. 
  

查 论 编 和因數有關的整數分類 簡介 質因數分解 因數 元因數 除數函數 質因數 算术基本定理 依因數分解分類 素数 合数 半素数 普洛尼克数 楔形数 无平方数因数的数 冪數 次方數 阿喀琉斯數 光滑數 正规数 粗糙數 不尋常數 依因數和分類 完全数 殆完全數 准完全数 多重完全數‎‎ Hemiperfect數 en:Hyperperfect number 超完全數 元完全數 半完全数 實際數 有許多因數 过剩数 本原過剩數 高過剩數‎ 超過剩數 Colossally過剩數 高合成数 en:Superior highly composite number 奇異數 和真因子和數列有關 不可及数 相亲数 交際數 婚約數 其他 亏数 友誼數 孤獨數 卓越数 歐爾調和數 佩服數 節儉數 等數位數 奢侈數