商环
在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。
目录
1 定義
2 例子
3 性質
4 文獻
定義
設R{displaystyle R}
- x∼y⟺x−y∈I{displaystyle xsim yiff x-yin I}
令R/I{displaystyle R/I}
- (a+I)+(b+I)=(a+b)+I{displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}
- (a+I)⋅(b+I)=ab+I{displaystyle (a+I)cdot (b+I)=ab+I}
以上運算是明確定義的（在第二式中須用到I{displaystyle I}
如果R{displaystyle R}
註：若條件弱化為I{displaystyle I}
例子
- 最平凡的例子是I=(0),I=R{displaystyle I=(0),I=R}
，此時分別得到R/I=R,R/I=(0){displaystyle R/I=R,R/I=(0)}
。
- 取R=Z,I=nZ{displaystyle R=mathbb {Z} ,I=nmathbb {Z} }
，商環Z/nZ{displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }
可視為模運算的代數框架，其中的元素即模n{displaystyle n}
的剩餘類。
- 商環是構造代數擴張的主要工具。例如取實係數多項式環R=R[X]{displaystyle R=mathbb {R} [X]}
，I=(X2+1)R[X]{displaystyle I=(X^{2}+1)mathbb {R} [X]}
，則商環R[X]/(X2+1){displaystyle mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}
與複數域C{displaystyle mathbb {C} }
同構（考慮映射f(X)+(X2+1)↦f(i){displaystyle f(X)+(X^{2}+1)mapsto f(i)}
）。一般而言，設F{displaystyle F}
為一個域，p(X)∈F[X]{displaystyle p(X)in F[X]}
為F{displaystyle F}
的意義在於抽象地在F{displaystyle F}
的一個根。
性質
商環由下述泛性質唯一決定（至多差一個同構）：
- 設π:R→R/I{displaystyle pi :Rrightarrow R/I}
為商同態；對任何環同態ϕ:R→S{displaystyle phi :Rrightarrow S}
，若 Ker(ϕ)⊃I{displaystyle mathrm {Ker} (phi )supset I}
，則存在唯一的同態ψ:R/I→S{displaystyle psi :R/Irightarrow S}
，使得ψ∘π=ϕ{displaystyle psi circ pi =phi }
。
事實上，若更設Ker(ϕ)=(0){displaystyle mathrm {Ker} (phi )=(0)}
理想的性質常與其商環相關，例如當R{displaystyle R}
文獻
- Serge Lang, Algebra（2002）, Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X
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