雙積
在範疇論中，雙積是直積在預加法範疇中的推廣，它同時是範疇論意義下的積與上積。
定義
令 C{displaystyle {mathcal {C}}}
- 對象 A{displaystyle A}
，通常表作 A1⊕⋯⊕An{displaystyle A_{1}oplus cdots oplus A_{n}}
。
- 態射 pk:A→Ak{displaystyle p_{k}:Ato A_{k}}
（稱為射影）
- 態射 ik:Ak→A{displaystyle i_{k}:A_{k}to A}
（稱為內射）
並假設：
- i1∘p1+…in∘pn=idA{displaystyle i_{1}circ p_{1}+ldots i_{n}circ p_{n}=mathrm {id} _{A}}
- pk∘ik=idAk{displaystyle p_{k}circ i_{k}=mathrm {id} _{A_{k}}}
- k≠l⇒pk∘il=0{displaystyle kneq lRightarrow p_{k}circ i_{l}=0}
則稱 A{displaystyle A}
注意到若在定義中取 n=0{displaystyle n=0}
例子
交換群範疇中存在雙積，此時的雙積即直和。- 一個域或除環上的向量空間也有雙積，即向量空間的直和。
性質
- 如果空雙積存在，並且所有二元雙積 A1⊕A2{displaystyle A_{1}oplus A_{2}}
存在，則所有雙積皆存在。
預加法範疇中的雙積同時是範疇意義下的積與上積，這是雙積一詞的由來。由此可導得空雙積是零對象。- 反之，預加法範疇中的積或上積也帶有自然的雙積結構。
